Matrices: Presentacion de Matrices

MATRICES

Los objetivos que pretendemos conseguir en el blog es:

Identificar el lenguaje propio del cálculo matricial.
Identificar los distintos tipos de matrices.
Dominar el cálculo matricial: operaciones matriciales y sus propiedades.
Reconocer, desde el punto de vista práctico, la utilidad de las matrices en la representación y resolución de problemas extraídos de diversos ámbitos.

HISTORIA DE LAS MATRICES

Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J. Silvestre. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley introduce la notación matricial como una forma abreviada de escribir un sistema de "m" ecuaciones lineales con "n" incógnitas.

La utilización de matrices constituye actualmente una parte esencial de los lenguajes de programación, ya que la mayoría de los datos se introducen en los ordenadores como tablas organizadas en filas y columnas, hojas de cálculo y bases de datos.

MATRICES

¿Qué es una matriz?

Una matriz es un conjunto de números reales, que están dispuestos en “m” filas y en “n” columnas.

A los números que forman la matriz se les llama elementos.

El número de filas por el número de columnas se denomina dimensión de la matriz y se designa como m x n, siendo m el número de filas y n el número de columnas.

Por ejemplo, estas son matrices de diferentes dimensiones:

Donde la matriz A es una matriz de 2×3 (2 filas y 3 columnas), la matriz B es una matriz de 3×2 (3 filas y 2 columnas) y la matriz C es una matriz de 3×3 (3 filas y 3 columnas).

Las matrices son utilizadas en el álgebra lineal, una de las ramas del álgebra.

Tipos de matrices

A continuación vamos a ver los tipos de matrices que existen, junto con un ejemplo de cada una de ellas.

- Matriz rectangular

Es aquella que tiene distinto número de filas que de columnas (m≠n):

- Matriz fila

Es toda matriz rectangular que tiene una sola fila (m = 1).

- Matriz columna

Es toda matriz rectangular con una columna (n = 1).

- Matriz opuesta

La matriz opuesta a otra matriz es la que tiene todos los elementos de signo contrario a la matriz original. Por ejemplo, si tenemos la matriz A:

Su matriz opuesta sería:

La matriz opuesta a A se designa como -A, donde que todos los elementos son de signo contrario a los elementos de la matriz A.

- Matriz traspuesta

Se llama matriz traspuesta de una matriz cualquiera de dimensión m x n a la matriz que se obtiene al convertir las filas en columnas. Se representa con el superíndice “t”y su dimensión es por tanto n x m.

Por ejemplo, tenemos la siguiente matriz A, de dimensión 2 x 3 (2 filas y 3 columnas):

Su matriz traspuesta, designada con el superíndice “t”, se obtiene convirtiendo las filas en columnas. Por tanto, la primera fila de la matriz A, formada por los elementos 1, -3 y 0, pasa a ser la primera columna de su matriz traspuesta. De la misma forma, la segunda fila de la matriz A, formada por los elementos 2, 4 y 1, pasa a ser la segunda columna de su matriz traspuesta:

La dimensión de la matriz transpuesta de A es de 3 x 2 (3 filas y 2 columnas):

- Matriz cuadrada de orden "n"

Una matriz cuadrada es aquella que tiene igual número de filas que de columnas (m = n). En este caso, la dimensión se denomina orden, cuyo valor coincide con el número de filas y de columnas.

Por ejemplo, la siguiente matriz es una matriz cuadrada de orden 3, ya que tiene 3 filas y 3 columnas:

Entre los elementos de las matrices cuadradas suelen tenerse muy en cuenta los que forman las diagonales de la matriz.

Así, se llama diagonal principal de una matriz cuadrada a los elementos que componen la diagonal que va desde la esquina superior izquierda, hasta la esquina inferior derecha:

Se llama diagonal secundaria de una matriz cuadrada a los elementos que componen la diagonal que va desde la esquina superior derecha, hasta la esquina inferior izquierda:

- Matriz triangular superior

Es toda matriz cuadrada donde al menos uno de los términos que están por encima de la diagonal principal son distintos de cero y todos los términos situados por debajo de la diagonal principal son ceros:

Normalmente, cuando se dice que hay que triangular la matriz, se refiere a que hay que hacer ceros los elementos que quedan por debajo de la diagonal principal.

- Matriz triangular inferior

Es toda matriz cuadrada donde al menos uno de los términos que están por debajo de la diagonal principal son distintos de cero y todos los términos situados por encima de la diagonal principal son ceros:

- Matriz diagonal

Es toda matriz cuadrada en la que todos los elementos que no están situados en la diagonal principal son ceros:

- Matriz escalar

La matriz escalar es toda matriz diagonal donde todos los elementos de la diagonal principal son iguales:

- Matriz identidad

Es la matriz escalar cuyos elementos de la diagonal principal valen uno, es decir, la diagonal principal está formada por 1, y el resto de los elementos son 0: