Matrices: noviembre 2018

Problemas de matrices por KIARA CAVERO

PROBLEMAS DONDE APLICAMOS MATRICES:

EJEMPLO 1:

En un edificio hay 3 tipos de viviendas L3,L4 y L5. Las viviendas L3 tienen 4 ventanas pequeñas y 3 grandes ; las L4 tienen 5 ventanas pequeñas y 4 grandes , y las L5, 6 pequeñas y 5 grandes . Cada ventana pequeña tiene 2 cristales y 4 bisagras, y las grandes, 4 cristales y 5 bisagras.

a)Escribe una matriz que describa el número y tamaño de ventanas de cada vivienda y otra que exprese el número de cristales y bisagras de cada tipo de ventana.

b) Calcula la matriz que exprese el número de cristales y de bisagras de cada tipo de vivienda.

EJEMPLO 2:

Una empresa industrial fabrica 2 tipos de bombillas: transparentes (T) y opacas(O). De cada tipo se hacen cuatro modelos : M1, M2, M3 y M4.

EJEMPLO 3:

EJEMPLO 4:

EJEMPLO 5:

BIBLIOGRAFÍA:
- http://www.edu.xunta.gal/centros/iesvilalonga/system/files/operaciones%20matrices_0.pdf

Suma y resta de matrices por Madeleyne Celis

Suma y resta de matrices

Para poder sumar o restar matrices, éstas deben tener el mismo número de filas y de columnas. Es decir, si una matriz es de orden 3 ´ 2 y otra de 3 ´ 3, no se pueden sumar ni restar. Esto es así ya que, tanto para la suma como para la resta, se suman o se restan los términos que ocupan el mismo lugar en las matrices.

Ejemplo:

Para sumar o restar más de dos matrices se procede igual. No necesariamente para poder sumar o restar matrices, éstas tienen que ser cuadradas.

EJEMPLO 1:

EJEMPLO 2.- Considere las siguientes dos matrices y realice la suma:

$\displaystyle A=\left( \begin{matrix} -3 & 2 \\ 1 & -2 \\ \end{matrix} \right)$

$\displaystyle B=\left( \begin{matrix} 4 & 1 \\ 3 & 3 \\ \end{matrix} \right)$

Solución:

$\displaystyle \left( \begin{matrix} -3 & 2 \\ 1 & -2 \\ \end{matrix} \right)+\left( \begin{matrix} 4 & 1 \\ 3 & 3 \\ \end{matrix} \right)=\left( \begin{matrix} -3+4 & 2+1 \\ 1+3 & -2+3 \\ \end{matrix} \right)$

Si observamos, hemos sumado a la perfección la matriz A y la matriz B, por lo que el resultado es:

$\displaystyle A+B=\left( \begin{matrix} 1 & 3 \\ 4 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

EJEMPLO 3: Considere las siguientes matrices y realice la suma.

EJEMPLO 4: Considere las siguientes matrices y realice la suma:

Bibliografía:

- https://www.sectormatematica.cl/contenidos/matsyr.htm
-https://matematicasmodernas.com/suma-y-resta-de-matrices/

Matriz transpuesta por LIZBETH GUTIERREZ

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ

La traspuesta de una matriz A consiste en intercambiar las filas por las columnas y se denota por A^T.

Así, la traspuesta de :

En otras palabras, si A = (a_{i j}) es una matriz m ´ n, entonces A^T = es la matriz n ´ m. La trasposición de una matriz cumple las siguientes propiedades:

1. (A + B)^T = A^T + B^T.

2. (A^T)^T = A.

3. (kA)^T = kA^T (si k es un escalar).

4. (AB)^T = B^TA^T.

Matrices simétricas

Se dice que una matriz real es simétrica, si A^T = A; y que es antisimétrica,

si A^T = -A.

Ejemplo:

Consideremos las siguientes matrices:

Podemos observar que los elementos simétricos de A son iguales, o que A^T = A. Siendo así, A es simétrica.

Para B los elementos simétricos son opuestos entre sí, de este modo B es antisimétrica.

A simple vista, C no es cuadrada; en consecuencia, no es ni simétrica ni antisimétrica.

Matrices ortogonales

Se dice que una matriz real A es ortogonal, si AA^T = A^TA = I. Se observa que una matriz ortogonal A es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa A^-1 = A^T.

Consideremos una matriz 3 ´ 3 arbitraria:

Si A es ortogonal, entonces:

Matrices normales

Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta, esto es, si AA^T = A^TA. Obviamente, si A es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal.

Ejemplo:

Puesto que AA^T = A^TA, la matriz es normal.

Ejercicio 1.– Dada las siguiente matriz de 2×2 , encontrar su transpuesta.

$\displaystyle A=\left( \begin{matrix} 3 & 4 \\ -6 & 2 \\ \end{matrix} \right)$

Solución:

Recordemos solamente en mover los renglones en columnas, así de fácil.

$\displaystyle {{A}^{T}}=\left( \begin{matrix} 3 & -6 \\ 4 & 2 \\ \end{matrix} \right)$

Ejercicio 2.- Dada la siguiente matriz de 2×3 , encontrar su transpuesta.

$\displaystyle B=\left( \begin{matrix} 1 & 4 & 6 \\ -5 & 4 & -9 \\ \end{matrix} \right)$

Solución:

Seguimos haciendo lo mismo del paso anterior, solamente tenemos que intercambiar los renglones en las columnas de la transpuesta.

$\displaystyle {{B}^{T}}=\left( \begin{matrix} 1 & -5 \\ 4 & 4 \\ 6 & -9 \\ \end{matrix} \right)$

A diferencia de la matriz del ejemplo 1, en este caso pudimos ver como el tamaño de elementos que tenía la matriz B, paso a ser el tamaño de las columnas. ¿Interesante?, claro que si… Veamos ahora otro ejemplo.

Ejercicio 3.- Dada la siguiente matriz de 4×3, encontrar su transpuesta.

$\displaystyle C=\left( \begin{matrix} 4 & -3 & 1 \\ -7 & 8 & 9 \\ 0 & 1 & 2 \\ 2 & -3 & -1 \\ \end{matrix} \right)$

Solución:

Nada más al observar el tamaño de la matriz original de 4×3 , sabemos que la matriz transpuesta será de 3×4, porque cambiaremos los renglones en columnas. Así que veamos como queda:

$\displaystyle {{C}^{T}}=\left( \begin{matrix} 4 & -7 & 0 & 2 \\ -3 & 8 & 1 & -3 \\ 1 & 9 & 2 & -1 \\ \end{matrix} \right)$

Ejercicio 4.- Veamos algunos casos más de cálculo de matrices transpuesta.

Bibliografía:
- https://www.matematicas10.net/2015/12/ejemplos-de-matriz-traspuesta.html

Multiplicacion de matrices por Stefany Palomares

MULTIPLICACION DE MATRICES

Tenemos que tener en cuenta que solo puede multiplicar dos matrices si sus dimensiones son compatibles, lo que significa que el número de columnas en la primera matriz es igual al número de renglones en la segunda matriz. Si A es una matriz a × b y B es una matriz b × c , el producto AB es una matriz a × c .

La definición de la multiplicación de matrices indica una multiplicación renglón-por-columna, donde las entradas en el renglón i th de A son multiplicadas por las entradas correspondientes en el renglón j th de B y luego se suman los resultados.

La multiplicación de matrices NO es conmutativa. Si ni A ni B son una matriz identidad, AB ≠ BA.

Vamos a realizar el siguiente problema, multiplicar una matriz 2 × 3 con una matriz 3 × 2, para obtener una matriz 2 × 2 como el producto. Las entradas de la matriz producto son llamadas e ij cuando están en el renglón i th y en la columna j th .

Para obtener e 11 , multiplique el Renglón 1 de la primera matriz por la Columna 1 de la segunda.

Para obtener e 12 , multiplique el Renglón 1 de la primera matriz por la Columna 2 de la segunda.

Para obtener e 21 , multiplique el Renglón 2 de la primera matriz por la Columna 1 de la segunda.

Para obtener e 22 , multiplique el Renglón 2 de la primera matriz por la Columna 2 de la segunda.

Escribiendo la matriz producto, obtenemos:

Por lo tanto, hemos motrado que:

EJERCICIO 1: Calcula los productos posibles entre las siguientes matrices:

Lo que nos piden en este ejercicio es multiplicar las matrices que se puedan multiplicar. Para ello, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda matriz.

Vamos a empezar con la matriz A que tiene 3 columnas. Esta matriz la podremos multiplicar por las matrices que tengan 3 filas. En primer lugar, la podemos multiplicar por la misma matriz A, que también tiene 3 filas.

Realizamos el producto de matrices de A.A=

Multiplicamos filas por columnas:

Y operamos:

La matriz B también tiene 3 filas, por lo que podemos realizar la multiplicación de A.B=

Multiplicamos filas por columnas y operamos:

Seguimos con la matriz B que tiene 1 columna. La podemos multiplicar por cualquier matriz que tenga 1 fila, pero en este caso no tenemos ninguna, ya que la matriz A tiene 3 filas, la propia matriz B tiene 3 filas y la matriz C tiene 2 filas. Por tanto, la matriz B no la podemos multiplicar por ninguna matriz.

Por último vamos a ver los posibles productos de matrices con la matiz C. La matriz C tiene 3 columnas, por lo que la podemos multiplicar por matrices que tengan 3 filas.

La matriz A tiene 3 filas, por lo multiplicamos C.A: